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Heinrich war der letzte in Kärnten regierende Eppensteiner.
Heinrich war der dritte Sohn Markwarts IV. von Eppenstein und der Liutbirg von Plain, Tochter von Graf Liutold II.
Als 1090 sein Bruder Liutold kinderlos gestorben war, wurde er von Kaiser Heinrich IV. mit dem Herzogtum Kärnten betraut. Wegen der schleichenden Entfremdung Liutolds gegenüber dem Kaiser in den letzten Jahren musste Heinrich III. aber etliche Dämpfer und Abstriche hinnehmen: Der Kaiser verhinderte es nicht, dass die eher papsttreuen Spanheimer 1091 die Gründung ihres Familienstifts St. Paul im Lavanttal abschließen konnten, wogegen für das Eppensteiner Familienstift St. Lambrecht, das für die Festigung der eppensteinschen Herrschaft als geistiges Zentrum äußerst wichtig war, noch etliche politische Hürden zu nehmen waren – die St. Lambrechter Gründung sollte erst 1103 (Installation des Reform-Abtes Hartmann) bzw. 1109 (päpstliche Bestätigung durch Paschalis II.) und 1114 (kaiserliche Bestätigung durch Heinrich V.) abgeschlossen sein.
Außerdem kam die Mark Krain an Aquileia (1093), die Vogtei Aquileia musste Heinrich abtreten (1093, aber eher erst 1101/02) und Istrien bekam einen neuen Markgrafen (1093).
1097 halfen Herzog Heinrich III. und sein Bruder Ulrich, Patriarch von Aquileia, Herzog Welf bei der Sicherstellung seines lombardischen Erbes. 1105 stellte er sich auf die Seite Heinrichs V. und zog mit ihm 1108 gegen die Ungarn und 1110/11 zur Kaiserkrönung nach Italien.
1122, ein Jahr nach dem Tod seines Bruders Ulrich, starb auch Heinrich; mit ihm erlosch das Geschlecht der Eppensteiner, die Besitzungen vom Semmering bis zum Tagliamento ihr Eigen nannten. Er ist im Familienstift St. Lambrecht bestattet.
Heinrichs Nachfolger als Kärntner Herzog wurde sein Spanheimer Taufpatenkind Heinrich IV., seine reichen Besitzungen erbten die Traungauer Markgrafen der Kärntner Mark.